Затухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида [math]\displaystyle{ u(t) = A \cos(\omega t+q) }[/math] в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний [math]\displaystyle{ \scriptstyle u'_t }[/math] или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Пример — затухающие колебания пружинного маятника

Модель пружинного маятника. B — демпфер. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется как

[math]\displaystyle{ m \vec{a} = \vec{F}_c + \vec{F}_y, }[/math]

где [math]\displaystyle{ F_c = -cv }[/math] — сила сопротивления, а [math]\displaystyle{ F_y = -kx }[/math] — сила упругости. Получается

[math]\displaystyle{ m a + c v + k x = 0, }[/math]

или в дифференциальной форме

[math]\displaystyle{ \ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ k }[/math] — коэффициент упругости в законе Гука, [math]\displaystyle{ c }[/math] — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

[math]\displaystyle{ \omega_0 = \sqrt{ k \over m },\qquad \zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }. }[/math]

Величину [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] называют собственной частотой системы, [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] — коэффициентом затухания. С такими обозначениями дифференциальное уравнение принимает вид

[math]\displaystyle{ \ddot{x} + 2 \zeta \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0. }[/math]

Уравнение затухающих колебаний. Возможные решения

Последнее уравнение предыдущего раздела является общим уравнением затухающих колебаний величины [math]\displaystyle{ x }[/math] (которая, вообще говоря, не обязательно должна быть координатой). Если абстрагироваться от того, как были получены параметры [math]\displaystyle{ \omega_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] в конкретном примере, такое уравнение применимо для описания широкого класса систем с затуханием.

Сделав замену [math]\displaystyle{ x = e^{\lambda t} }[/math], получают характеристическое уравнение

[math]\displaystyle{ \lambda^2 + 2 \zeta \omega_0 \lambda + \omega_0^2 = 0, }[/math]

корни которого вычисляются по формуле

[math]\displaystyle{ \lambda_\pm = \omega_0( - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1}). }[/math]

Зависимость графиков колебаний от значения [math]\displaystyle{ \zeta }[/math].

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Апериодичность

Если [math]\displaystyle{ \zeta\gt 1 }[/math], то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

[math]\displaystyle{ x(t)=c_1 e^{\lambda_- \,t}+c_2 e^{\lambda_+ \,t} }[/math]

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

Граница апериодичности

Если [math]\displaystyle{ \zeta=1 }[/math], два действительных корня совпадают [math]\displaystyle{ \lambda = -\omega_0 }[/math], и решением уравнения является:

[math]\displaystyle{ x(t)=(c_1t+c_2) e^{-\omega_o t} }[/math]

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Слабое затухание

Если [math]\displaystyle{ \zeta\lt 1 }[/math], то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

[math]\displaystyle{ \lambda_\pm = -\omega_0\zeta \pm i \omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 } }[/math]

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

[math]\displaystyle{ x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \omega_d=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 } }[/math] — собственная частота затухающих колебаний.

Константы [math]\displaystyle{ c_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ c_2 }[/math] в каждом из случаев определяются из начальных условий: [math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& a \\ \dot{x}(0) &=& b \end{array}\right. }[/math]

См. также

Литература

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.